一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）

1．（3分）（2014•大庆）下列式子中成立的是（　　）

A． ﹣|﹣5|＞4 B． ﹣3＜|﹣3| C． ﹣|﹣4|=4 D． |﹣5.5|＜5

分析： 先对每一个选项化简，再进行比较即可．

解答： 解：A．﹣|﹣5|=﹣5＜4，故A选项错误；

B．|﹣3|=3＞﹣3，故B选项正确；

C．﹣|﹣4|=﹣4≠4，故C选项错误；

D．|﹣5.5|=5.5＞5，故D选项错误；

故选B．

点评： 本题考查了有理数的大小比较，化简是本题的关键．

2．（3分）（2014•大庆）大庆油田某一年的石油总产量为4 500万吨，若用科学记数法表示应为（　　）吨．

A． 4.5×10﹣6 B． 4.5×106 C． 4.5×107 D． 4.5×108

考点： 科学记数法—表示较大的数．

分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于4 500万有8位，所以可以确定n=8﹣1=7．

解答： 解：4 500万=45 000 000=4.5×107．

故选C．

点评： 此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．

3．（3分）（2014•大庆）已知a＞b且a+b=0，则（　　）

A． a＜0 B． b＞0 C． b≤0 D． a＞0

考点： 有理数的加法．

专题： 计算题．

分析： 根据互为相反数两数之和为0，得到a与b互为相反数，即可做出判断．

解答： 解：∵a＞b且a+b=0，

∴a＞0，b＜0，

故选D．

点评： 此题考查了有理数的加法，熟练掌握互为相反数两数的性质是解本题的关键．

4．（3分）（2014•大庆）如图中几何体的俯视图是（　　）

A． B． C． D．

考点： 简单组合体的三视图．

分析： 找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．

解答： 解：从上面看易得第一层最右边有1个正方形，第二层有3个正方形．

故选A．

点评： 本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．

5．（3分）（2014•大庆）下列四个命题：

（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形；

（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

其中正确的命题个数有（　　）

A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个

考点： 命题与定理；平行四边形的判定．

分析： 分别利用平行四边形的判定方法判断得出即可．

解答： 解：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形，此选项正确；

（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形，此选项正确；

（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形，此选项正确；

（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，此选项正确．

故选：A．

点评： 此题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题关键．

6．（3分）（2014•大庆）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是（　　）

A． B． C． D．

考点： 旋转的性质；正方形的性质．

分析： 连接AC1，AO，根据四边形AB1C1D1是正方形，得出∠C1AB1=∠AC1B1=45°，求出∠DAB1=45°，推出A、D、C1三点共线，在Rt△C1D1A中，由勾股定理求出AC1，进而求出DC1=OD，根据三角形的面积计算即可．

解答： 解：连接AC1，

∵四边形AB1C1D1是正方形，

∴∠C1AB1=×90°=45°=∠AC1B1，

∵边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，

∴∠B1AB=45°，

∴∠DAB1=90°﹣45°=45°，

∴AC1过D点，即A、D、C1三点共线，

∵正方形ABCD的边长是1，

∴四边形AB1C1D1的边长是1，

在Rt△C1D1A中，由勾股定理得：AC1==，

则DC1=﹣1，

∵∠AC1B1=45°，∠C1DO=90°，

∴∠C1OD=45°=∠DC1O，

∴DC1=OD=﹣1，

∴S△ADO=×OD•AD=，

∴四边形AB1OD的面积是=2×=﹣1，

故选C．

点评： 本题考查了正方形性质，勾股定理等知识点，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目比较好，但有一定的难度．

7．（3分）（2014•大庆）某市出租车起步价是5元（3公里及3公里以内为起步价），以后每公里收费是1.6元，不足1公里按1公里收费，小明乘出租车到达目的地时计价器显示为11.4元，则此出租车行驶的路程可能为（　　）

A． 5.5公里 B． 6.9公里 C． 7.5公里 D． 8.1公里

考点： 一元一次方程的应用．

分析： 设人坐车可行驶的路程最远是xkm，根据起步价5元，到达目的地后共支付车费11元得出等式求出即可．

解答： 解：设人坐车可行驶的路程最远是xkm，根据题意得：

5+1.6（x﹣3）=11.4，

解得：x=7．

观察选项，只有B选项符合题意．

故选：B．

点评： 此题主要考查了一元一次方程的应用，根据总费用得出等式是解题关键．

8．（3分）（2014•大庆）已知反比例函数的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），若y1＞y2，则x1﹣x2的值是（　　）

A． 正数 B． 负数 C． 非正数 D． 不能确定

考点： 反比例函数图象上点的坐标特征．

分析： 由于点A、B所在象限不定，那么自变量的值大小也不定，则x1﹣x2的值不确定．

解答： 解：∵反比例函数的图象的图象在二、四象限，

∴当点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在第二象限时，由y1＞y2，则x1﹣x2＞0；

当点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在第四象限时，由y1＞y2，则x1﹣x2＞0；

当点A（x1，y1）在第二象限、B（x2，y2）在第四象限时，即y1＞0＞y2，则x1﹣x2＞0；

故选A．

点评： 本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，注意反比例函数的图象的增减性只指在同一象限内．

9．（3分）（2014•大庆）如图，一个质地均匀的正四面体的四个面上依次标有数字﹣2，0，1，2，连续抛掷两次，朝下一面的数字分别是a，b，将其作为M点的横、纵坐标，则点M（a，b）落在以A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2）为顶点的三角形内（包含边界）的概率是（　　）

A． B． C． D．

考点： 列表法与树状图法．

分析： 首先列举出所有可能的结果，再找出落在以A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2）为顶点的三角形内（包含边界）的可能情况，根据古典概型概率公式得到结果即可．

解答： 解：列举出事件：（﹣2，1），（﹣2，0），（﹣2，2），（0，﹣2），（0，1），（0，2），（1，2），（1，0），（1，﹣2），（2，﹣2），（2，0），（2，1）共有12种结果，

而落在以A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2）为顶点的三角形内（包含边界）有：（﹣2，0），（0，1），（0，2），（1，0），（2，0），（﹣1，0）共6中可能情况，

所以落在以A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2）为顶点的三角形内（包含边界）的概率是==，

故选C．

点评： 本题考查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于中档题．

10．（3分）（2014•大庆）对坐标平面内不同两点A（x1，y1）、B（x2，y2），用|AB|表示A、B两点间的距离（即线段AB的长度），用‖AB‖表示A、B两点间的格距，定义A、B两点间的格距为‖AB‖=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，则|AB|与‖AB‖的大小关系为（　　）

A． |AB|≥‖AB‖ B． |AB|＞‖AB‖ C． |AB|≤‖AB‖ D． |AB|＜‖AB‖

考点： 线段的性质：两点之间线段最短；坐标与图形性质．

专题： 新定义．

分析： 根据点的坐标的特征，|AB|、|x1﹣x2|、|y1﹣y2|三者正好构成直角三角形，然后利用两点之间线段最短解答．

解答： 解：∵|AB|、|x1﹣x2|、|y1﹣y2|的长度是以|AB|为斜边的直角三角形，

∴|AB|≤‖AB‖．

故选C．

点评： 本题考查两点之间线段最短的性质，坐标与图形性质，理解平面直角坐标系的特征，判断出三角形的三边关系是解题的关键．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

11．（3分）（2014•大庆）若，则xy﹣3的值为　0.5　．

考点： 非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值；负整数指数幂．

分析： 根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．

解答： 解：∵，

∴，

解得，

∴xy﹣3=22﹣3=．

点评： 本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．

12．（3分）（2014•大庆）某记者抽样调查了某校一些学生假期用于读书的时间（单位：分钟）后，绘制了频数分布直方图，从左到右的前5个长方形相对应的频率之和为0.9，最后一组的频数是15，则此次抽样调查的人数为　150　人．（注：横轴上每组数据包含最小值不包含最大值）

考点： 频数（率）分布直方图．

分析： 根据直方图中各组的频率之和等于1，结合题意可得最后一组的频率，再由频率的计算公式可得总人数，即答案．

解答： 解：由题意可知：最后一组的频率=1﹣0.9=0.1，

则由频率=频数÷总人数可得：总人数=15÷0.1=150人；

故答案为：150．

点评： 本题考查了频数分布直方图的知识，解题的关键是牢记公式：频率=频数÷总人数．

13．（3分）（2014•大庆）二元一次方程组的解为　　．

考点： 解二元一次方程组．

专题： 计算题．

分析： 方程组利用加减消元法求出解即可．

解答： 解：，

①×3﹣②×2得：11x=33，即x=3，

将x=3代入②得：y=2，

则方程组的解为．

故答案为：．

点评： 此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

14．（3分）（2014•大庆）=　　．

考点： 整式的混合运算．

专题： 计算题．

分析： 先把（x+）提，再把4x2﹣1分解，然后约分即可．

解答： 解：原式=（2x+1）（2x﹣1）÷[（2x﹣1）（2x+1）]

=．

故答案为．

点评： 本题考查了整式的混合运算：有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．

15．（3分）（2014•大庆）图中直线是由直线l向上平移1个单位，向左平移2个单位得到的，则直线l对应的一次函数关系式为　y=x﹣2　．

考点： 一次函数图象与几何变换．

分析： 先求得图中直线方程，然后利用平移的性质来求直线l的解析式．

解答： 解：如图，设该直线的解析式为y=kx+1（k≠0），则

0=﹣k+1，

解得 k=1．

则该直线的解析式为y=x+1．

∵图中直线是由直线l向上平移1个单位，向左平移2个单位得到的，

∴由该直线向下平移1个单位，向右移2个单位得到的直线l，

∴直线l的解析式为：y=x+1﹣1﹣2=x﹣2，．

故答案是：y=x﹣2．

点评： 本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．

16．（3分）（2014•大庆）在半径为2的圆中，弦AC长为1，M为AC中点，过M点最长的弦为BD，则四边形ABCD的面积为　2　．

考点： 垂径定理；勾股定理．

分析： 先由直径是圆中最长的弦得出BD=4，再根据垂径定理的推论得出AC⊥BD，则四边形ABCD的面积=AC•BD．

解答： 解：如图．∵M为AC中点，过M点最长的弦为BD，

∴BD是直径，BD=4，且AC⊥BD，

∴四边形ABCD的面积=AC•BD=×1×4=2．

故答案为2．

点评： 本题考查了垂径定理，四边形的面积，难度适中．得出BD是直径是解题的关键．

17．（3分）（2014•大庆）如图，矩形ABCD中，AD=，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，且∠ACG=∠AGC，∠GAF=∠F=20°，则AB=　　．

考点： 矩形的性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．

分析： 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AGC=∠GAF+∠F=40°，再根据等腰三角形的性质求出∠CAG，然后求出∠CAF=120°，再根据∠BAC=∠CAF﹣∠BAF求出∠BAC=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=2BC=2AD，然后利用勾股定理列式计算即可得解．

解答： 解：由三角形的外角性质得，∠AGC=∠GAF+∠F=20°+20°=40°，

∵∠ACG=∠AGC，

∴∠CAG=180°﹣∠ACG﹣∠AGC=180°﹣2×40°=100°，

∴∠CAF=∠CAG+∠GAF=100°+20°=120°，

∴∠BAC=∠CAF﹣∠BAF=30°，

在Rt△ABC中，AC=2BC=2AD=2，

由勾股定理，AB===．

故答案为：．

点评： 本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记各性质并求出AB是30°角直角三角形的直角边是解题的关键．

18．（3分）（2014•大庆）有一列数如下：1，0，1，0，0，1，0，0，0，1，0，0，0，0，1，…，则第9个1在这列数中是第　45　个数．

考点： 规律型：数字的变化类．

专题： 规律型．

分析： 根据两个1之间的0的个数分别为1、2、3…个，然后把0的个数相加再加上9，计算即可得解．

解答： 解：∵两个1之间的0的个数分别为1、2、3…，

∴到第9个1，0的个数为：1+2+3+4+5+6+7+8=36，

∴第9个1在这列数中是第36+9=45个数．

故答案为：45．

点评： 本题是对数字变化规律的考查，观察出两个1之间的0的个数是从1开始的连续的自然数是解题的关键．

三、解答题（本大题共10小题，共66分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19．（4分）（2014•大庆）计算：．

考点： 实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．

专题： 计算题．

分析： 原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用立方根定义化简计算即可得到结果．

解答： 解：原式=1+1+﹣2=．

点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20．（4分）（2014•大庆）求不等式组的整数解．

考点： 一元一次不等式组的整数解．

分析： 此题可先根据一元一次不等式组解出x的取值，根据x是整数解得出x的可能取值．

解答： 解：，

解①得：x＜，

解②得：x≥﹣1，

则不等式组的解集是：﹣1≤x＜．

则整数解是：﹣1，0，1．

点评： 本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

21．（4分）（2014•大庆）已知非零实数a满足a2+1=3a，求的值．

考点： 分式的混合运算．

专题： 计算题．

分析： 已知等式两边除以a变形后求出a+的值，两边平方，利用完全平方公式展开即可求出所求式子的值．

解答： 解：∵a2+1=3a，即a+=3，

∴两边平方得：（a+）2=a2++2=9，

则a2+=7．

点评： 此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

22．（7分）（2014•大庆）如图，点D为锐角∠ABC内一点，点M在边BA上，点N在边BC上，且DM=DN，∠BMD+∠BND=180°．

求证：BD平分∠ABC．

考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．

专题： 证明题．

分析： 在AB上截取ME=BN，证得△BND≌△EMD，进而证得∠DBN=∠MED，BD=DE，从而证得BD平分∠ABC．

解答： 解：如图所示：在AB上截取ME=BN，

∵∠BMD+∠DME=180°，∠BMD+∠BND=180°，

∴∠DME=∠BND，

在△BND与△EMD中，

，

∴△BND≌△EMD（SAS），

∴∠DBN=∠MED，BD=DE，

∴∠MBD=∠MED，

∴∠MBD=∠DBN，

∴BD平分∠ABC．

点评： 本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．

23．（7分）（2014•大庆）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点A（﹣2，0），与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B（m，n），连结OB．若S△AOB=6，S△BOC=2．

（1）求一次函数的表达式；

（2）求反比例函数的表达式．

考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．

专题： 计算题．

分析： （1）由S△AOB=6，S△BOC=2得S△AOC=4，根据三角形面积公式得•2•OC=4，解得OC=4，则C点坐标为（0，4），然后利用待定系数法求一次函数解析式；

（2）由S△BOC=2，根据三角形面积公式得到×4×m=2，解得m=1，则B点坐标为（1，6），然后利用待定系数法确定反比例函数解析式．

解答： 解：（1）∵S△AOB=6，S△BOC=2，

∴S△AOC=4，

∴•2•OC=4，解得OC=4，

∴C点坐标为（0，4），

设一次函数解析式为y=mx+n，

把A（﹣2，0），C（0，4）代入得，解得，

∴一次函数解析式为y=2x+4；

（2）∵S△BOC=2，

∴×4×m=2，解得m=1，

∴B点坐标为（1，6），

把B（1，6）代入y=得k=1×6=6，

∴反比例函数解析式为y=．

点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式．

24．（7分）（2014•大庆）甲、乙两名同学进入初四后，某科6次考试成绩如图：

（1）请根据下图填写如表：

（2）请你分别从以下两个不同的方面对甲、乙两名同学6次考试成绩进行分析：

①从平均数和方差相结合看；②从折线图上两名同学分数的走势上看，你认为反映出什么问题？

考点： 折线统计图；算术平均数；中位数；极差；方差．

分析： （1）分别根据平均数、方差的求解进行计算，中位数的定义，众数的定义以及极差的定义解答；

（2）根据方差的意义以及折线统计图的意义解答．

解答： 解：（1）甲：方差=[（60﹣75）2+（65﹣75）2+（75﹣75）2+（75﹣75）2+（80﹣75）2+（95﹣75）2

=（225+100+0+0+25+400）

=125，

众数：75，

极差：95﹣60=35；

乙：平均数=（85+70+70+75+70+80）=75，

中位数：（70+75）=72.5，

众数：70；

故答案为：125，75，35；75，72.5，70；

（2）①从平均数和方差相结合看，乙同学成绩更稳定；

②从折线图上两名同学分数的走势上看，甲同学进步较快，乙同学成绩稳定有小幅度下滑．

点评： 本题考查折线统计图的运用，折线统计图表示的是事物的变化情况．

25．（7分）（2014•大庆）关于x的函数y=（m2﹣1）x2﹣（2m+2）x+2的图象与x轴只有一个公共点，求m的值．

考点： 抛物线与x轴的交点；一次函数图象上点的坐标特征．

分析： 需要分类讨论：该函数是一次函数和二次函数两种情况．

解答： 解：①当m2﹣1=0，且2m+2≠0，即m=1时，该函数是一次函数，则其图象与x轴只有一个公共点；

②当m2﹣1≠0，即m≠±1时，该函数是二次函数，则

△=（2m+2）2﹣8（m2﹣1）=0，

解得 m=3，m=﹣1（舍去）．

综上所述，m的值是1或3．

点评： 本题考查了抛物线与x轴的交点．注意一定要分类讨论，以防漏解．

26．（8分）（2014•大庆）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，PB与CD交于点F，∠PBC=∠C．

（1）求证：CB∥PD；

（2）若∠PBC=22.5°，⊙O的半径R=2，求劣弧AC的长度．

考点： 垂径定理；圆周角定理；弧长的计算．

分析： （1）先根据同弧所对的圆周角相等得出∠PBC=∠D，再由等量代换得出∠C=∠D，然后根据内错角相等两直线平行即可证明CB∥PD；

（2）先由垂径定理及圆周角定理得出∠BOC=2∠PBC=45°，再根据邻补角定义求出∠AOC=135°，然后根据弧长的计算公式即可得出劣弧AC的长度．

解答： 解：（1）∵∠PBC=∠D，∠PBC=∠C，

∴∠C=∠D，

∴CB∥PD；

（2）∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，

∴=，

∵∠PBC=∠C=22.5°，

∴∠BOC=∠BOD=2∠C=45°，

∴∠AOC=180°﹣∠BOC=135°，

∴劣弧AC的长为：=．

点评： 本题考查了圆周角定理，平行线的判定，垂径定理，弧长的计算，难度适中．（2）中求出∠AOC=135°是解题的关键．

27．（9分）（2014•大庆）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，点D在边AC上且BD平分∠ABC，设CD=x．

（1）求证：△ABC∽△BCD；

（2）求x的值；

（3）求cos36°﹣cos72°的值．

考点： 相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；黄金分割；解直角三角形．

专题： 计算题．

分析： （1）由等腰三角形ABC中，顶角的度数求出两底角度数，再由BD为角平分线求出∠DBC的度数，得到∠DBC=∠A，再由∠C为公共角，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABC与三角形BCD相似；

（2）根据（1）结论得到AD=BD=BC，根据AD+DC表示出AC，由（1）两三角形相似得比例求出x的值即可；

（3）过B作BE垂直于AC，交AC于点E，在直角三角形ABE和直角三角形BCE中，利用锐角三角函数定义求出cos36°与cos72°的值，代入原式计算即可得到结果．

解答： 解：（1）∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，

∴∠ABC=∠C=72°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD=36°，

∵∠CBD=∠A=36°，∠C=∠C，

∴△ABC∽△BCD；

（2）∵∠A=∠ABD=36°，

∴AD=BD，

∵BD=BC，

∴AD=BD=CD=1，

设CD=x，则有AB=AC=x+1，

∵△ABC∽△BCD，

∴=，即=，

整理得：x2+x﹣1=0，

解得：x1=，x2=（负值，舍去），

则x=；

（3）过B作BE⊥AC，交AC于点E，

∵BD=CD，

∴E为CD中点，即DE=CE=，

在Rt△ABE中，cosA=cos36°===，

在Rt△BCE中，cosC=cos72°===，

则cos36°﹣cos72°=﹣=．

点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，以及一元二次方程的解法，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．

28．（9分）（2014•大庆）如图①，已知等腰梯形ABCD的周长为48，面积为S，AB∥CD，∠ADC=60°，设AB=3x．

（1）用x表示AD和CD；

（2）用x表示S，并求S的最大值；

（3）如图②，当S取最大值时，等腰梯形ABCD的四个顶点都在⊙O上，点E和点F分别是AB和CD的中点，求⊙O的半径R的值．

考点： 圆的综合题．

专题： 综合题．

分析： （1）作AH⊥CD于H，BG⊥CD于G，如图①，易得四边形AHGB为矩形，则HG=AB=3x，再根据等腰梯形的性质得AD=BC，DH=CG，在Rt△ADH中，设DH=t，根据含30度的直角三角形三边的关系得AD=2t，AH=t，然后根据等腰梯形ABCD的周长为48得3x+2t+t+3x+t+2t=48，解得t=8﹣x，于是可得AD=18﹣2x，CD=16+x；

（2）根据梯形的面积公式计算可得到S=﹣2x2+8x+64，再进行配方得S=﹣2（x﹣2）2+72，然后根据二次函数的最值问题求解；

（3）连结OA、OD，如图②，由（2）得到x=2时，则AB=6，CD=18，等腰梯形的高为6，所以AE=3，DF=9，由于点E和点F分别是AB和CD的中点，根据等腰梯形的性质得直线EF为等腰梯形ABCD的对称轴，所以EF垂直平分AB和CD，EF为等腰梯形ABCD的高，即EF=6，根据垂径定理的推论得等腰梯形ABCD的外接圆的圆心O在EF上，设OE=a，则OF=6﹣a，在Rt△AOE中，利用勾股定理得a2+32=R2，在Rt△ODF中，利用勾股定理得（6﹣a）2+92=R2，然后消去R得到a的方程a2+32=（6﹣a）2+92，解得a=5，最后利用R2=（5）2+32求解．

解答： 解：（1）作AH⊥CD于H，BG⊥CD于G，如图①，

则四边形AHGB为矩形，

∴HG=AB=3x，

∵四边形ABCD为等腰梯形，

∴AD=BC，DH=CG，

在Rt△ADH中，设DH=t，

∵∠ADC=60°，

∴∠DAH=30°，

∴AD=2t，AH=t，

∴BC=2t，CG=t，

∵等腰梯形ABCD的周长为48，

∴3x+2t+t+3x+t+2t=48，解得t=8﹣x，

∴AD=2（8﹣x）=18﹣2x，

CD=8﹣x+3x+8﹣x=16+x；

（2）S=（AB+CD）•AH

=（3x+16+x）•（8﹣x）

=﹣2x2+8x+64，

∵S=﹣2（x﹣2）2+72，

∴当x=2时，S有最大值72；

（3）连结OA、OD，如图②，

当x=2时，AB=6，CD=16+2=18，等腰梯形的高为×（8﹣2）=6，

则AE=3，DF=9，

∵点E和点F分别是AB和CD的中点，

∴直线EF为等腰梯形ABCD的对称轴，

∴EF垂直平分AB和CD，EF为等腰梯形ABCD的高，即EF=6，

∴等腰梯形ABCD的外接圆的圆心O在EF上，

设OE=a，则OF=6﹣a，

在Rt△AOE中，

∵OE2+AE2=OA2，

∴a2+32=R2，

在Rt△ODF中，

∵OF2+DF2=OD2，

∴（6﹣a）2+92=R2，

∴a2+32=（6﹣a）2+92，解得a=5，

∴R2=（5）2+32=84，

∴R=2．

点评： 本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理及其推论和等腰梯形的性质；会运用二次函数的性质解决最值问题；熟练运用勾股定理和含30度的直角三角形三边的关系进行计算．