一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）每小题都给出标号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的．

1．（3分）（2014•贵港）5的相反数是（　　）

A． B． ﹣ C． 5 D． ﹣5

考点： 相反数．

分析： 根据只有符号不同的两数叫做互为相反数解答．

解答： 解：5的相反数是﹣5．

故选D．

点评： 本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．

2．（3分）（2014•贵港）中国航母辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，满载排水量为67500吨，这个数据用科学记数法表示为（　　）

A． 6.75×104吨 B． 6.75×103吨 C． 6.75×105吨 D． 6.75×10﹣4吨

考点： 科学记数法—表示较大的数．

分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于67500有5位，所以可以确定n=5﹣1=4．

解答： 解：67 500=6.75×104．

故选A．

点评： 此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．

3．（3分）（2014•贵港）某市5月份连续五天的日最高气温（单位：℃）分别为：33，30，30，32，35．则这组数据的中位数和平均数分别是（　　）

A． 32，33 B． 30，32 C． 30，31 D． 32，32

考点： 中位数；算术平均数．

分析： 先把这组数据从小到大排列，找出最中间的数，即可得出这组数据的中位数，再根据平均数的计算公式进行计算即可．

解答： 解：把这组数据从小到大排列为30，30，32，33，35，最中间的数是32，

则中位数是32；

平均数是：（33+30+30+32+35）÷5=32，

故选D．

点评： 此题考查了中位数和平均数，掌握中位数的定义和平均数的计算公式是本题的关键；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．

4．（3分）（2014•贵港）下列运算正确的是（　　）

A． 2a﹣a=1 B． （a﹣1）2=a2﹣1 C． a•a2=a3 D． （2a）2=2a2

考点： 完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．

分析： 根据合并同类项法则，完全平方公式，同底数幂的乘法，积的乘方求出每个式子的值，再判断即可．

解答： 解：A、2a﹣a=a，故本选项错误；

B、（a﹣1）2=a2﹣2a+1，故本选项错误；

C、a•a2=a3，故本选项正确；

D、（2a）2=4a2，故本选项错误；

故选C．

点评： 本题考查了合并同类项法则，完全平方公式，同底数幂的乘法，积的乘方的应用，主要考查学生的计算能力．

5．（3分）（2014•贵港）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． 正三角形 B． 平行四边形 C． 矩形 D． 正五边形

考点： 中心对称图形；轴对称图形．

分析： 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．

解答： 解：A、正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；

C、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；

D、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．

故选：C．

点评： 此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．

6．（3分）（2014•贵港）分式方程=的解是（　　）

A． x=﹣1 B． x=1 C． x=2 D． 无解

考点： 解分式方程．

分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

解答： 解：去分母得：x+1=3，

解得：x=2，

经检验x=2是分式方程的解．

故选C

点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

7．（3分）（2014•贵港）下列命题中，属于真命题的是（　　）

A． 同位角相等 B． 正比例函数是一次函数

C． 平分弦的直径垂直于弦 D． 对角线相等的四边形是矩形

考点： 命题与定理．

分析： 利用平行线的性质、正比例函数的定义、垂径定理及矩形的判定对各个选项逐一判断后即可确定正确的选项．

解答： 解：A、两直线平行，同位角才相等，故错误，是假命题；

B、正比例函数是一次函数，正确，是真命题；

C、平分弦的直径垂直于弦，错误，是假命题；

D、对角线相等的平行四边形才是矩形，错误，是假命题，

故选B．

点评： 本题考查了命题与定理，解题的关键是了解平行线的性质、正比例函数的定义、垂径定理及矩形的判定等知识，难度较小．

8．（3分）（2014•贵港）若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则b+c的值是（　　）

A． ﹣10 B． 10 C． ﹣6 D． ﹣1

考点： 根与系数的关系．

分析： 根据根与系数的关系得到﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c，然后可分别计算出b、c的值，进一步求得答案即可．

解答： 解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，

∴﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c，

解得b=﹣2，c=﹣8

∴b+c=﹣10．

故选：A．

点评： 此题考查根与系数的关系，解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=﹣，x1x2=．

9．（3分）（2014•贵港）如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（　　）

A． 51° B． 56° C． 68° D． 78°

考点： 圆心角、弧、弦的关系．

分析： 由==，可求得∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，继而可求得∠AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．

解答： 解：如图，∵==，∠COD=34°，

∴∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，

∴∠AOE=180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC=78°．

又∵OA=OE，

∴∠AEO=∠AOE，

∴∠AEO=×（180°﹣78°）=51°．

故选：A．

点评： 此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．

10．（3分）（2014•贵港）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y1=的图象与一次函数y2=kx=b的图象交于A、B两点．若y1＜y2，则x的取值范围是（　　）

A． 1＜x＜3 B． x＜0或1＜x＜3 C． 0＜x＜1 D． x＞3或0＜x＜1

考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．

分析： 当一次函数的值＞反比例函数的值时，直线在双曲线的下方，直接根据图象写出一次函数的值＞反比例函数的值x的取值范，可得答案．

解答： 解：由图象可知，当x＜0或1＜x＜3时，y1＜y2，

故选：B．

点评： 本题考查了反比例函数与一函数的交点问题，反比例函数图象在下方的部分是不等的解．

11．（3分）（2014•贵港）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（　　）

A． B． 4 C． D． 5

考点： 轴对称-最短路线问题．

分析： 过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC的平分线．得出PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AB，再运用S△ABC=AB•CM=AC•BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值．

解答： 解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，

∵AD是∠BAC的平分线．

∴PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，

∵AC=6，BC=8，∠ACB=90°，

∴AB===10．

∵S△ABC=AB•CM=AC•BC，

∴CM===，

即PC+PQ的最小值为．

故选：C．

点评： 本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足PC+PQ有最小值时点P和Q的位置．

12．（3分）（2014•贵港）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：

①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＞0；④（a+c）2＜b2，

其中正确的结论有（　　）

A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

考点： 二次函数图象与系数的关系．

分析： ①由抛物线的开口方向，抛物线与y轴交点的位置、对称轴即可确定a、b、c的符号，即得abc的符号；

②由抛物线与x轴有两个交点判断即可；

③f（﹣2）+2f（1）=6a+3c＜0，即2a+c＜0；又因为a＜0，所以3a+c＜0．故错误；

④将x=1代入抛物线解析式得到a+b+c＜0，再将x=﹣1代入抛物线解析式得到a﹣b+c＞0，两个不等式相乘，根据两数相乘异号得负的取符号法则及平方差公式变形后，得到（a+c）2＜b2，

解答： 解：①由开口向下，可得a＜0，又由抛物线与y轴交于正半轴，可得c＞0，然后由对称轴在y轴左侧，得到b与a同号，则可得b＜0，abc＞0，故①错误；

②由抛物线与x轴有两个交点，可得b2﹣4ac＞0，故②正确；

③当x=﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0 （1）

当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0 （2）

（1）+（2）×2得：6a+3c＜0，即2a+c＜0

又∵a＜0，∴a+（2a+c）=3a+c＜0．

故③错误；

④∵x=1时，y=a+b+c＜0，x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，

∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，

即[（a+c）+b][（a+c）﹣b]=（a+c）2﹣b2＜0，

∴（a+c）2＜b2，

故④正确．

综上所述，正确的结论有2个．

故选：B．

点评： 本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13．（3分）（2014•贵港）计算：﹣9+3=　﹣6　．

考点： 有理数的加法．

专题： 计算题．

分析： 原式利用异号两数相加的法则计算即可得到结果．

解答： 解：﹣9+3=﹣（9﹣3）=﹣6．

故答案为：﹣6

点评： 此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

14．（3分）（2014•贵港）如图所示，AB∥CD，∠D=27°，∠E=36°，则∠ABE的度数是　63°　．

考点： 平行线的性质．

专题： 计算题．

分析： 先根据三角形外角性质得∠BFD=∠E+∠D=63°，然后根据平行线的性质得到∠ABE=∠BFD=63°．

解答： 解：如图，

∵∠BFD=∠E+∠D，

而∠D=27°，∠E=36°，

∴∠BFD=36°+27°=63°，

∵AB∥CD，

∴∠ABE=∠BFD=63°．

故答案为63°．

点评： 本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．

15．（3分）（2014•贵港）一组数据1，3，0，4的方差是　2.5　．

考点： 方差．

分析： 先求出这组数据的平均数，再根据方差公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，代数计算即可．

解答： 解：这组数据的平均数是：（1+3+0+4）÷4=2，

方差=[（1﹣2）2+（3﹣2）2+（0﹣2）2+（4﹣2）2]=2.5；

故答案为：2.5．

点评： 本题考查了方差，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．

16．（3分）（2014•贵港）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC⊥BD．若AD=4，BC=6，则梯形ABCD的面积是　25　．

考点： 等腰梯形的性质．

分析： 首先过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E，可得四边形ACED是平行四边形，又由在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC⊥BD，可得△BDE是等腰直角三角形，继而求得答案．

解答： 解：过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E，

∵AD∥BC，

∴四边形ACED是平行四边形，

∴AC=DE，CE=AD=4，

∴BE=BC+CE=6+4=10，

∵AC⊥BD，

∴DE⊥BD，

∵四边形ABCD是等腰梯形，

∴AC=BD，

∴BD=DE，

∴BD=DE==5，

∴S梯形ABCD=×AC×BD=25．

故答案为：25．

点评： 此题考查了等腰三角形的性质、平行四边形的性质与判定以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．

17．（3分）（2014•贵港）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠C=120°，以点C为圆心的与AB，AD分别相切于点G，H，与BC，CD分别相交于点E，F．若用扇形CEF作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是　2　．

考点： 切线的性质；菱形的性质；圆锥的计算．

分析： 先连接CG，设CG=R，由勾股定理求得扇形的半径即圆锥的母线长，根据弧长公式l=，再由2π•r=，求出底面半径r，则根据勾股定理即可求得圆锥的高．

解答： 解：如图：连接CG，

∵∠C=120°，

∴∠B=60°，

∵AB与相切，

∴CG⊥AB，

在直角△CBG中CG=BC•sin60°=2×=3，即圆锥的母线长是3，

设圆锥底面的半径为r，则：2πr=，

∴r=1．

则圆锥的高是：=2．

故答案是：2．

点评： 本题考查的是圆锥的计算，先利用直角三角形求出扇形的半径，运用弧长公式计算出弧长，然后根据底面圆的周长等于扇形的弧长求出底面圆的半径．

18．（3分）（2014•贵港）已知点A1（a1，a2），A2（a2，a3），A3（a3，a4）…，An（an，an+1）（n为正整数）都在一次函数y=x+3的图象上．若a1=2，则a2014=　6041　．

考点： 一次函数图象上点的坐标特征．

专题： 规律型．

分析： 将a1=2代入a2=x+3，一次求出a1、a2、a3、a4、a5、a6…的值，找到规律然后解答．

解答： 解：将a1=2代入a2=x+3，得a2=5，

同理可求得，a3=8，a4=11，a5=14，a6=17，

an=2+3（n﹣1），

a2014=2+3（2014﹣1）=2+3×2013=2+6039=6041，

故答案为6041．

点评： 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，计算出结果，找到规律即可解答．

三、解答题（本大题共8小题，满分66分，解答用写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19．（10分）（2014•贵港）（1）计算：﹣（）﹣1+（π﹣）0﹣（﹣1）10；

（2）已知|a+1|+（b﹣3）2=0，求代数式（﹣）÷的值．

考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．

专题： 计算题．

分析： （1）原式第一项利用二次根式的化简公式计算，第二项利用负指数幂法则计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用乘方的意义化简，计算即可得到结果；

（2）利用非负数的性质求出a与b的值，原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，将a与b的值代入计算即可求出值．

解答： 解：（1）原式=3﹣4+1﹣1=﹣1；

（2）∵|a+1|+（b﹣3）2=0，

∴a+1=0，b﹣3=0，即a=﹣1，b=3．

则原式=÷=×===﹣．

点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20．（5分）（2014•贵港）如图，在△ABC中，AB=BC，点点D在AB的延长线上．

（1）利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）．

①作∠CBD的平分线BM；

②作边BC上的中线AE，并延长AE交BM于点F．

（2）由（1）得：BF与边AC的位置关系是　BF∥AC　．

考点： 作图—复杂作图．

分析： （1）①利用角平分线的作法得出BM；

②首先作出BC的垂直平分线，进而得出BC的中点，进而得出边BC上的中线AE；

（2）利用三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质得出即可．

解答： 解：（1）①如图所示：BM即为所求；

②如图所示：AF即为所求；

（2）∵AB=BC，

∴∠CAB=∠C，

∵∠C+∠CAB=∠CBD，∠CBM=∠MBD，

∴∠C=∠CBM，

∴BF∥AC．

点评： 此题主要考查了复杂作图以及三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质等知识，正确利用角平分线的性质得出是解题关键．

21．（6分）（2014•贵港）如图所示，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点C（0，2），且与反比例函数y=﹣的图象在第二象限内交于点B，过点B作BD⊥x轴于点D，OD=2．

（1）求直线AB的解析式；

（2）若点P是线段BD上一点，且△PBC的面积等于3，求点P的坐标．

考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．

分析： （1）根据图象上的点满足函数解析式，可得B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）三角形的面积公式，BP的长，可得P点坐标．

解答： 解：（1）OD=2，B点的横坐标是﹣2，

当x=﹣2时，y=﹣=4，

∴B点坐标是（﹣2，4），

设直线AB的解析式是y=kx+b，图象过（﹣2，4）、（0，2），

，

解得，

∴直线AB的解析式为y=﹣x+2；

（2）∵OD=3，=3，

∴BP=3，

PD=BD﹣BP=4﹣3=1，

∴P点坐标是（﹣2，1）．

点评： 本题考查了反比例函数与一函数的交点问题，待定系数法求函数解析式的关键．

22．（8分）（2014•贵港）某学校举行“社会主义核心价值观”知识比赛活动，全体学生都参加比赛，学校对参赛学生均给与表彰，并设置一、二、三等奖和纪念奖共四个奖项，赛后将获奖情况绘制成如下所示的两幅不完整的统计图，请根据图中所给的信息，解答下列问题：

（1）该校共有　1260　名学生；

（2）在图①中，“三等奖”随对应扇形的圆心角度数是　108°　；

（3）将图②补充完整；

（4）从该校参加本次比赛活动的学生中随机抽查一名．求抽到获得一等奖的学生的概率．

考点： 条形统计图；扇形统计图；概率公式．

分析： （1）用二等奖的人数除以对应的百分比求出该校共有学生数，

（2）先求出一等奖扇形对应的百分比，再求三等奖扇形对应的圆心角为：（1﹣20%﹣5%﹣45%）×360°=108°，

（3）求出三等奖的人数再画出条形统计图，

（4）用一等奖的学生数除以总人数就是抽到一等奖的概率，

解答： 解：（1）该校共有学生数为：252÷20%=1260（名），

故答案为：1260．

（2）一等奖扇形对应的百分比为：63÷1260=5%，

所以三等奖扇形对应的圆心角为：（1﹣20%﹣5%﹣45%）×360°=108°，

故答案为：108°．

（3）三等奖的人数为：1260×（1﹣20%﹣5%﹣45%）=378人，如图2，

（4）抽到获得一等奖的学生的概率为：63÷1260=5%．

点评： 本题主要考查了条形统计图，扇形统计图及概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

23．（7分）（2014•贵港）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且CE=CD，过点E作EF⊥AC交AD于点F，连接BE．

（1）求证：DF=AE；

（2）当AB=2时，求BE2的值．

考点： 正方形的性质；角平分线的性质；勾股定理．

分析： （1）连接CF，根据“HL”证明Rt△CDF和Rt△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=EF，根据正方形的对角线平分一组对角可得∠EAF=45°，求出△AEF是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得AE=EF，然后等量代换即可得证；

（2）根据正方形的对角线等于边长的倍求出AC，然后求出AE，过点E作EH⊥AB于H，判断出△AEH是等腰直角三角形，然后求出AE=AH=AE，再求出BH，然后利用勾股定理列式计算即可得解．

解答： （1）证明：如图，连接CF，

在Rt△CDF和Rt△CEF中，

，

∴Rt△CDF≌Rt△CEF（HL），

∴DF=EF，

∵AC是正方形ABCD的对角线，

∴∠EAF=45°，

∴△AEF是等腰直角三角形，

∴AE=EF，

∴DF=AE；

（2）解：∵AB=2，

∴AC=AB=2，

∵CE=CD，

∴AE=2﹣2，

过点E作EH⊥AB于H，

则△AEH是等腰直角三角形，

∴AE=AH=AE=×（2﹣2）=2﹣，

∴BH=2﹣（2﹣）=，

在Rt△BEH中，BE2=BH2+EH2=（）2+（2﹣）2=8﹣4．

点评： 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线构造出全等三角形和直角三角形是解题的关键．

24．（9分）（2014•贵港）在开展“美丽广西，清洁乡村”的活动中某乡镇计划购买A、B两种树苗共100棵，已知A种树苗每棵30元，B种树苗每棵90元．

（1）设购买A种树苗x棵，购买A、B两种树苗的总费用为y元，请你写出y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；

（2）如果购买A、B两种树苗的总费用不超过7560元，且B种树苗的棵树不少于A种树苗棵树的3倍，那么有哪几种购买树苗的方案？

（3）从节约开支的角度考虑，你认为采用哪种方案更合算？

考点： 一次函数的应用；一元一次不等式组的应用．

分析： （1）设购买A种树苗x棵，购买A、B两种树苗的总费用为y元，根据某乡镇计划购买A、B两种树苗共100棵，已知A种树苗每棵30元，B种树苗每棵90元可列出函数关系式．

（2）根据购买A、B两种树苗的总费用不超过7560元，且B种树苗的棵树不少于A种树苗棵树的3倍，列出不等式组，解不等式组即可得出答案；

（3）根据（1）得出的y与x之间的函数关系式，利用一次函数的增减性结合自变量的取值即可得出更合算的方案．

解答： 解：（1）设购买A种树苗x棵，购买A、B两种树苗的总费用为y元，

y=30x+90（100﹣x）=9000﹣60x；

（2）设购买A种树苗x棵，则B种树苗（100﹣x）棵，根据题意得：

，

解得：24≤x≤25，

因为x是正整数，

所以x只能取25，24．

有两种购买树苗的方案：

方案一：购买A种树苗25棵时，B种树苗75棵；

方案二：购买A种树苗24棵时，B种树苗76棵；

（3）∵y=9000﹣60x，﹣60＜0，

∴y随x的增大而减小，

又x=25或24，

∴采用购买A种树苗25棵，B种树苗75棵时更合算．

点评： 本题考查的是一元一次不等式组及一次函数的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．

25．（10分）（2014•贵港）如图，AB是大半圆O的直径，AO是小半圆M的直径，点P是大半圆O上一点，PA与小半圆M交于点C，过点C作CD⊥OP于点D．

（1）求证：CD是小半圆M的切线；

（2）若AB=8，点P在大半圆O上运动（点P不与A，B两点重合），设PD=x，CD2=y．

①求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

②当y=3时，求P，M两点之间的距离．

考点： 圆的综合题；平行线的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值．

专题： 综合题．

分析： （1）连接CO、CM，只需证到CD⊥CM．由于CD⊥OP，只需证到CM∥OP，只需证到CM是△AOP的中位线即可．

（2）①易证△ODC∽△CDP，从而得到CD2=DP•OD，进而得到y与x之间的函数关系式．由于当点P与点A重合时x=0，当点P与点B重合时x=4，点P在大半圆O上运动（点P不与A，B两点重合），因此自变量x的取值范围为0＜x＜4．

②当y=3时，得到﹣x2+4x=3，求出x．根据x的值可求出CD、PD的值，从而求出∠CPD，运用勾股定理等知识就可求出P，M两点之间的距离．

解答： 解：（1）连接CO、CM，如图1所示．

∵AO是小半圆M的直径，

∴∠ACO=90°即CO⊥AP．

∵OA=OP，

∴AC=PC．

∵AM=OM，

∴CM∥PO．

∴∠MCD=∠PDC．

∵CD⊥OP，

∴∠PDC=90°．

∴∠MCD=90°即CD⊥CM．

∵CD经过半径CM的外端C，且CD⊥CM，

∴直线CD是小半圆M的切线．

（2）①∵CO⊥AP，CD⊥OP，

∴∠OCP=∠ODC=∠CDP=90°．

∴∠OCD=90°﹣∠DCP=∠P．

∴△ODC∽△CDP．

∴．

∴CD2=DP•OD．

∵PD=x，CD2=y，OP=AB=4，

∴y=x（4﹣x）=﹣x2+4x．

当点P与点A重合时，x=0；当点P与点B重合时，x=4；

∵点P在大半圆O上运动（点P不与A，B两点重合），

∴0＜x＜4．

∴y与x之间的函数关系式为y=﹣x2+4x，

自变量x的取值范围是0＜x＜4．

②当y=3时，﹣x2+4x=3．

解得：x1=1，x2=3．

Ⅰ．当x=1时，如图2所示．

在Rt△CDP中，

∵PD=1，CD=．

∴tan∠CPD==，

∴∠CPD=60°．

∵OA=OP，

∴△OAP是等边三角形．

∵AM=OM，

∴PM⊥AO．

∴PM=

=

=2．

Ⅱ．当x=3时，如图3所示．

同理可得：∠CPD=30°．

∵OA=OP，

∴∠OAP=∠APO=30°．

∴∠POB=60°

过点P作PH⊥AB，垂足为H，连接PM，如图3所示．

∵sin∠POH===，

∴PH=2．

同理：OH=2．

在Rt△MHP中，

∵MH=4，PH=2，

∴PM=

=

=2．

综上所述：当y=3时，P，M两点之间的距离为2或2．

点评： 本题考查了切线的判定、平行线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识，综合性比较强．

26．（11分）（2014•贵港）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3a（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），连接BC．

（1）求该抛物线的解析式和对称轴，并写出线段BC的中点坐标；

（2）将线段BC先向左平移2个单位长度，在向下平移m个单位长度，使点C的对应点C1恰好落在该抛物线上，求此时点C1的坐标和m的值；

（3）若点P是该抛物线上的动点，点Q是该抛物线对称轴上的动点，当以P，Q，B，C四点为顶点的四边形是平行四边形时，求此时点P的坐标．

考点： 二次函数综合题．

分析： （1）把点A（﹣1，0）和点C（0，2）的坐标代入所给抛物线可得a、b的值，进而得到该抛物线的解析式和对称轴，再求出点B的坐标，根据中点坐标公式求出线段BC的中点坐标即可；

（2）根据平移的性质可知，点C的对应点C1的横坐标为﹣2，再代入抛物线可求点C1的坐标，进一步得到m的值；

（3）B、C为定点，可分BC为平行四边形的一边及对角线两种情况探讨得到点P的坐标．

解答： 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣3a（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），

∴，

解得．

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣1）2+2，

∴对称轴是x=1，

∵1+（1+1）=3，

∴B点坐标为（3，0），

∴BC的中点坐标为（1.5，1）；

（2）∵线段BC先向左平移2个单位长度，再向下平移m个单位长度，使点C的对应点C1恰好落在该抛物线上，

∴点C1的横坐标为﹣2，

当x=﹣2时，y=﹣×（﹣2）2+×（﹣2）+2=﹣，

∴点C1的坐标为（﹣2，﹣），

m=2﹣（﹣）=5；

（3）①若BC为平行四边形的一边，

∵BC的横坐标的差为3，

∵点Q的横坐标为1，

∴P的横坐标为4或﹣2，

∵P在抛物线上，

∴P的纵坐标为﹣3，

∴P1（4，﹣3），P2（﹣2，﹣3）；

②若BC为平行四边形的对角线，

则BC与PQ互相平分，

∵点Q的横坐标为1，BC的中点坐标为（1.5，1），

∴P点的横坐标为1.5+（1.5﹣1）=2，

∴P的纵坐标为﹣×22+×2+2=2，

∴P3（2，2）．

综上所述，点P的坐标为：P1（4，﹣3），P2（﹣2，﹣3），P3（2，2）．

点评： 考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线的对称轴，中点坐标公式，平移的性质，平行四边形的性质，注意分BC为平行四边形的一边或为对角线两种情况进行探讨