一、选择题（共12小题，每小题4分）

1．（4分）(2014年山东淄博)计算（﹣3）2等于（　　）

A． ﹣9 B． ﹣6 C． 6 D． 9

考点： 有理数的乘方．

分析： 根据负数的偶次幂等于正数，可得答案．

解答： 解：原式=32=9．

故选：D．

点评： 本题考查了有理数的乘方，负数的偶次幂是正数．

2．（4分）(2014年山东淄博)方程﹣=0解是（　　）

A． x= B． x= C． x= D． x=﹣1

考点： 解分式方程．

专题： 计算题．

分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

解答： 解：去分母得：3x+3﹣7x=0，

解得：x=，

经检验x=是分式方程的解．

故选B

点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

3．（4分）(2014年山东淄博)如图是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速（单位：千米/时）情况．则这些车的车速的众数、中位数分别是（　　）

A． 8，6 B． 8，5 C． 52，53 D． 52，52

考点： 频数（率）分布直方图；中位数；众数．

专题： 计算题．

分析： 找出出现次数最多的速度即为众数，将车速按照从小到大顺序排列，求出中位数即可．

解答： 解：根据题意得：这些车的车速的众数52千米/时，

车速分别为50，50，51，51，51，51，51，52，52，52，52，52，52，52，52，53，53，53，53，53，53，54，54，54，54，55，55，

中间的为52，即中位数为52千米/时，

则这些车的车速的众数、中位数分别是52，52．

故选D

点评： 此题考查了频数（率）分布直方图，中位数，以及众数，弄清题意是解本题的关键．

4．（4分）(2014年山东淄博)如图是三个大小不等的正方体拼成的几何体，其中两个较小正方体的棱长之和等于大正方体的棱长．该几何体的主视图、俯视图和左视图的面积分别是S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系是（　　）

A． S1＞S2＞S3 B． S3＞S2＞S1 C． S2＞S3＞S1 D． S1＞S3＞S2

考点： 简单组合体的三视图．

分析： 根据从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图，从左面看得到的图形是左视图，根据边角面积的大小，可得答案．

解答： 解：主视图的面积是三个正方形的面积，左视图是两个正方形的面积，俯视图是一个正方形的面积，

S1＞S3＞S2，

故选：D．

点评： 本题考查了简单组合体的三视图，分别得出三视图是解题关键．

5．（4分）(2014年山东淄博)一元二次方程x2+2x﹣6=0的根是（　　）

A． x1=x2= B． x1=0，x2=﹣2 C． x1=，x2=﹣3 D． x1=﹣，x2=3

考点： 解一元二次方程-公式法．

分析： 找出方程中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，再根据x=，将a，b及c的值代入计算，即可求出原方程的解．

解答： 解：∵a=1，b=2，c=﹣6

∴x====﹣±2，

∴x1=，x2=﹣3；

故选C．

点评： 此题考查了利用公式法求一元二次方程的解，利用公式法解一元二次方程时，首先将方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的判别式，当根的判别式大于等于0时，将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解．

6．（4分）(2014年山东淄博)当x=1时，代数式ax3﹣3bx+4的值是7，则当x=﹣1时，这个代数式的值是（　　）

A． 7 B． 3 C． 1 D． ﹣7

考点： 代数式求值．

专题： 整体思想．

分析： 把x=1代入代数式求值a、b的关系式，再把x=﹣1代入进行计算即可得解．

解答： 解：x=1时，ax3﹣3bx+4=a﹣3b+4=7，

解得a﹣3b=3，

当x=﹣1时，ax3﹣3bx+4=﹣a+3b+4=﹣3+4=1．

故选C．

点评： 本题考查了代数式求值，整体思想的利用是解题的关键．

7．（4分）(2014年山东淄博)如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC、DB相交于点P，∠BAC=∠CDB=90°，AB=AD=DC．则cos∠DPC的值是（　　）

A． B． C． D．

考点： 等腰梯形的性质．

分析： 先根据等腰三角形的性质得出∠DAB+∠BAC=180°，AD∥BC，故可得出∠DAP=∠ACB，∠ADB=∠ABD，再由AB=AD=DC可知∠ABD=∠ADB，∠DAP=∠ACD，所以∠DAP=∠ABD=∠DBC，再根据∠BAC=∠CDB=90°可知，3∠ABD=90°，故∠ABD=30°，再由直角三角形的性质求出∠DPC的度数，进而得出结论．

解答： 解：∵梯形ABCD是等腰梯形，

∴∠DAB+∠BAC=180°，AD∥BC，

∴∠DAP=∠ACB，∠ADB=∠ABD，

∵AB=AD=DC，

∴∠ABD=∠ADB，∠DAP=∠ACD，

∴∠DAP=∠ABD=∠DBC，

∵∠BAC=∠CDB=90°，

∴3∠ABD=90°，

∴∠ABD=30°，

在△ABP中，

∵∠ABD=30°，∠BAC=90°，

∴∠APB=60°，

∴∠DPC=60°，

∴cos∠DPC=cos60°=．

故选A．

点评： 本题考查的是等腰梯形的性质，熟知等腰梯形同一底上的两个角相等是解答此题的关键．

8．（4分）(2014年山东淄博)如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，﹣2）．它与反比例函数y=﹣的图象交于点A（m，4），则这个二次函数的解析式为（　　）

A． y=x2﹣x﹣2 B． y=x2﹣x+2 C． y=x2+x﹣2 D． y=x2+x+2

考点： 待定系数法求二次函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征．

专题： 计算题．

分析： 将A坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出A的坐标，将A与B坐标代入二次函数解析式求出b与c的值，即可确定出二次函数解析式．

解答： 解：将A（m，4）代入反比例解析式得：4=﹣，即m=﹣2，

∴A（﹣2，4），

将A（﹣2，4），B（0，﹣2）代入二次函数解析式得：，

解得：b=﹣1，c=﹣2，

则二次函数解析式为y=x2﹣x﹣2．

故选A．

点评： 此题考查l待定系数法求二次函数解析式，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

9．（4分）(2014年山东淄博)如图，ABCD是正方形场地，点E在DC的延长线上，AE与BC相交于点F．有甲、乙、丙三名同学同时从点A出发，甲沿着A﹣B﹣F﹣C的路径行走至C，乙沿着A﹣F﹣E﹣C﹣D的路径行走至D，丙沿着A﹣F﹣C﹣D的路径行走至D．若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序（由先至后）是（　　）

A． 甲乙丙 B． 甲丙乙 C． 乙丙甲 D． 丙甲乙

考点： 正方形的性质；线段的性质：两点之间线段最短；比较线段的长短．

分析： 根据正方形的性质得出AB=BC=CD=AD，∠B=∠ECF，根据直角三角形得出AF＞AB，EF＞CF，分别求出甲、乙、丙行走的距离，再比较即可．

解答： 解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠B=90°，

甲行走的距离是AB+BF+CF=AB+BC=2AB；

乙行走的距离是AF+EF+EC+CD；

丙行走的距离是AF+FC+CD，

∵∠B=∠ECF=90°，

∴AF＞AB，EF＞CF，

∴AF+FC+CD＞2AB，AF+FC+CD＜AF+EF+EC+CD，

∴甲比丙先到，丙比乙先到，

即顺序是甲丙乙，

故选B．

点评： 本题考查了正方形的性质，直角三角形的性质的应用，题目比较典型，难度适中．

10．（4分）(2014年山东淄博)如图，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE=1，BE的垂直平分线MN恰好过点C．则矩形的一边AB的长度为（　　）

A． 1 B． C． D． 2

考点： 勾股定理；线段垂直平分线的性质；矩形的性质．

分析： 本题要依靠辅助线的帮助，连接CE，首先利用线段垂直平分线的性质证明BC=EC．求出EC后根据勾股定理即可求解．

解答： 解：如图，连接EC．

∵FC垂直平分BE，

∴BC=EC（线段垂直平分线的性质）

又∵点E是AD的中点，AE=1，AD=BC，

故EC=2

利用勾股定理可得AB=CD==．

故选：C．

点评： 本题考查的是勾股定理、线段垂直平分线的性质以及矩形的性质，本题的关键是要画出辅助线，证明BC=EC后易求解．本题难度中等．

11．（4分）(2014年山东淄博)如图，直线AB与⊙O相切于点A，弦CD∥AB，E，F为圆上的两点，且∠CDE=∠ADF．若⊙O的半径为，CD=4，则弦EF的长为（　　）

A． 4 B． 2 C． 5 D． 6

考点： 切线的性质．

分析： 首先连接OA，并反向延长交CD于点H，连接OC，由直线AB与⊙O相切于点A，弦CD∥AB，可求得OH的长，然后由勾股定理求得AC的长，又由∠CDE=∠ADF，可证得EF=AC，继而求得答案．

解答： 解：连接OA，并反向延长交CD于点H，连接OC，

∵直线AB与⊙O相切于点A，

∴OA⊥AB，

∵弦CD∥AB，

∴AH⊥CD，

∴CH=CD=×4=2，

∵⊙O的半径为，

∴OA=OC=，

∴OH==，

∴AH=OA+OH=+=4，

∴AC==2．

∵∠CDE=∠ADF，

∴=，

∴=，

∴EF=AC=2．

故选B．

点评： 此题考查了切线的性质、圆周角定理、垂径定理以及勾股定理等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．

12．（4分）(2014年山东淄博)已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A（0，2），B（8，3），则h的值可以是（　　）

A． 6 B． 5 C． 4 D． 3

考点： 二次函数的性质．

专题： 计算题．

分析： 根据抛物线的顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=h，由于所给数据都是正数，所以当对称轴在y轴的右侧时，比较点A和点B都对称轴的距离可得到h＜4．

解答： 解：∵抛物线的对称轴为直线x=h，

∴当对称轴在y轴的右侧时，A（0，2）到对称轴的距离比B（8，3）到对称轴的距离小，

∴x=h＜4．

故选D．

点评： 本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．

二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）

13．（4分）(2014年山东淄博)分解因式：8（a2+1）﹣16a=　8（a﹣1）2　．

考点： 提公因式法与公式法的综合运用．

分析： 首先提取公因式8，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．

解答： 解：8（a2+1）﹣16a

=8（a2+1﹣2a）

=8（a﹣1）2．

故答案为：8（a﹣1）2．

点评： 此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．

14．（4分）(2014年山东淄博)某实验中学九年级（1）班全体同学的综合素质评价“运动与健康”方面的等级统计如图所示，其中评价为“A”所在扇形的圆心角是　108　度．

考点： 扇形统计图．

分析： 首先计算出A部分所占百分比，再利用360°乘以百分比可得答案．

解答： 解：A所占百分比：100%﹣15%﹣20%﹣35%=30%，

圆心角：360°×30%=108°，

故答案为：108．

点评： 此题主要考查了扇形统计图，关键是掌握圆心角度数=360°×所占百分比．

15．（4分）(2014年山东淄博)已知▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD成为一个菱形，你添加的条件是　AD=DC　．

考点： 菱形的判定；平行四边形的性质．

专题： 开放型．

分析： 根据菱形的定义得出答案即可．

解答： 解：∵邻边相等的平行四边形是菱形，

∴平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件：可以为：AD=DC；

故答案为：AD=DC．

点评： 此题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的性质，根据菱形的定义得出是解题关键．

16．（4分）(2014年山东淄博)关于x的反比例函数y=的图象如图，A、P为该图象上的点，且关于原点成中心对称．△PAB中，PB∥y轴，AB∥x轴，PB与AB相交于点B．若△PAB的面积大于12，则关于x的方程（a﹣1）x2﹣x+=0的根的情况是　没有实数根　．

考点： 根的判别式；反比例函数的性质．

分析： 由比例函数y=的图象位于一、三象限得出a+4＞0，A、P为该图象上的点，且关于原点成中心对称，得出2xy＞12，进一步得出a+4＞6，由此确定a的取值范围，进一步利用根的判别式判定方程根的情况即可．

解答： 解：∵反比例函数y=的图象位于一、三象限，

∴a+4＞0，a＞﹣4，

∵A、P关于原点成中心对称，PB∥y轴，AB∥x轴，△PAB的面积大于12，

∴2xy＞12，

即a+4＞6，a＞2

∴a＞2．

∴△=（﹣1）2﹣4（a﹣1）×=2﹣a＜0，

∴关于x的方程（a﹣1）x2﹣x+=0没有实数根．

故答案为：没有实数根．

点评： 此题综合考查了反比例函数的图形与性质，一元二次方程根的判别式，注意正确判定a的取值范围是解决问题的关键．

17．（4分）(2014年山东淄博)如图，在正方形网格中有一边长为4的平行四边形ABCD，请将其剪拼成一个有一边长为6的矩形．（要求：在答题卡的图中画出裁剪线即可）

考点： 作图—应用与设计作图；图形的剪拼．

分析： 如图先过D点向下剪出一个三角形放在平行四边形的左边，再在剪去D点下面两格的小正方形放在右面，就组成了一人矩形．

解答： 解：如图：

点评： 本题一方面考查了学生的动手操作能力，另一方面考查了学生的空间想象能力，重视知识的发生过程，让学生体验学习的过程．

三、解答题（共7小题，共52分）

18．（5分）(2014年山东淄博)计算：•．

考点： 分式的乘除法．

专题： 计算题．

分析： 原式约分即可得到结果．

解答： 解：原式=•

=．

点评： 此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

19．（5分）(2014年山东淄博)如图，直线a∥b，点B在直线上b上，且AB⊥BC，∠1=55°，求∠2的度数．

考点： 平行线的性质．

分析： 根据垂直定义和邻补角求出∠3，根据平行线的性质得出∠2=∠3，代入求出即可．

解答： 解：

∵AB⊥BC，

∴∠ABC=90°，

∴∠1+∠3=90°，

∵∠1=55°，

∴∠3=35°，

∵a∥b，

∴∠2=∠3=35°．

点评： 本题考查了垂直定义，平行线的性质的应用，注意：两直线平行，同位角相等．

20．（8分）(2014年山东淄博)节能灯根据使用寿命分成优等品、正品和次品三个等级，其中使用寿命大于或等于8000小时的节能灯是优等品，使用寿命小于6000小时的节能灯是次品，其余的节能灯是正品．质检部门对某批次的一种节能灯（共200个）的使用寿命进行追踪调查，并将结果整理成此表．

（1）根据分布表中的数据，在答题卡上写出a，b，c的值；

（2）某人从这200个节能灯中随机购买1个，求这种节能灯恰好不是次品的概率．

寿命（小时） 频数 频率

4000≤t≤5000 10 0.05

5000≤t＜6000 20 a

6000≤t＜7000 80 0.40

7000≤t＜8000 b 0.15

8000≤t＜9000 60 c

合计 200 1

考点： 频数（率）分布表；概率公式．

分析： （1）由频率分布表中的数据，根据频率=频数÷数据总数及频数=数据总数×频率即可求出a、b、c的值；

（2）根据频率分布表中的数据，用不是次品的节能灯个数除以节能灯的总个数即可求解．

解答： 解：（1）根据频率分布表中的数据，得

a==0.1，

b=200×0.15=30，

c==0.3；

（Ⅱ）设“此人购买的节能灯恰好不是次品”为事件A．

由表可知：这批灯泡中优等品有60个，正品有110个，次品有30个，

所以此人购买的节能灯恰好不是次品的概率为P（A）==0.85．

点评： 本题考查了读频数（率）分布表的能力和利用统计图获取信息的能力及古典概型的概率，用到的知识点：频率=频数÷数据总数，概率=所有出现的情况数与总数之比．

21．（8分）(2014年山东淄博)为鼓励居民节约用电，某省试行阶段电价收费制，具体执行方案如表：

档次 每户每月用电数（度） 执行电价（元/度）

第一档 小于等于200 0.55

第二档 大于200小于400 0.6

第三档 大于等于400 0.85

例如：一户居民七月份用电420度，则需缴电费420×0.85=357（元）．

某户居民五、六月份共用电500度，缴电费290.5元．已知该用户六月份用电量大于五月份，且五、六月份的用电量均小于400度．问该户居民五、六月份各月电多少度？

考点： 二元一次方程组的应用．

分析： 某户居民五、六月份共用电500度，就可以得出每月用电量不可能都在第一档，分情况讨论，当5月份用电量为x度≤200度，6月份用电（500﹣x）度，当5月份用电量为x度＞200度，六月份用电量为（500﹣x）度＞x度，分别建立方程求出其解即可．

解答： 解：当5月份用电量为x度≤200度，6月份用电（500﹣x）度，由题意，得

0.55x+0.6（500﹣x）=290.5，

解得：x=190，

∴6月份用电500﹣x=310度．

当5月份用电量为x度＞200度，六月份用电量为（500﹣x）度，由题意，得

0.6x+0.6（500﹣x）=290.5，

300=290.5，原方程无解．

∴5月份用电量为190度，6月份用电310度．

点评： 本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，分类讨论思想的运用，解答时由总价=单价×数量是关键．

22．（8分）(2014年山东淄博)如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（0.3），点C是x轴上的一个动点，点C在x轴上移动时，始终保持△ACP是等边三角形．当点C移动到点O时，得到等边三角形AOB（此时点P与点B重合）．

（1）点C在移动的过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时（如图），求证：△AOC≌△ABP；由此你发现什么结论？

（2）求点C在x轴上移动时，点P所在函数图象的解析式．

考点： 一次函数综合题．

分析： （1）由等边三角形的性质易证AO=AB，AC=AP，∠CAP=∠OAB=60°；然后由图示知∠CAP+∠PAO=∠OAB+∠PAO，即∠CAO=∠PAB．所以根据SAS证得结论；

（2）利用（1）中的结论PB⊥AB．根据等边三角形的性质易求点B的坐标为B（，）．再由旋转的性质得到当点P移动到y轴上的坐标是（0，﹣3），所以根据点B、P的坐标易求直线BP的解析式．

解答： （1）证明：∵△AOB与△ACP都是等边三角形，

∴AO=AB，AC=AP，∠CAP=∠OAB=60°，

∴∠CAP+∠PAO=∠OAB+∠PAO，

∴∠CAO=∠PAB，

在△AOC与△ABP中，

∴△AOC≌△ABP（SAS）．

∴∠COA=∠PBA=90°，

∴点P在过点B且与AB垂直的直线上或PB⊥AB或∠ABP=90°．

故结论是：点P在过点B且与AB垂直的直线上或PB⊥AB或∠ABP=90°；

（2）解：点P在过点B且与AB垂直的直线上．

∵△AOB是等边三角形，A（0，3），

∴B（，）．

当点C移动到点P在y轴上时，得P（0，﹣3）．

设点P所在的直线方程为：y=kx+b（k≠0）．把点B、P的坐标分别代入，得

，

解得 ，

所以点P所在的函数图象的解析式为：y=x﹣3．

点评： 本题综合考查了待定系数法求一次函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定与性质等知识．解答（2）题时，求得点P位于y轴负半轴上的坐标是解题的关键．

23．（9分） (2014年山东淄博)如图，四边形ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB=AC=BD．连接MF，NF．

（1）判断△BMN的形状，并证明你的结论；

（2）判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由．

考点： 相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形中位线定理．

分析： （1）根据等腰三角形的性质，可得AM是高线、顶角的角平分线，根据直角三角形的性质，可得∠EAB+∠EBA=90°，根据三角形外角的性质，可得答案；

（2）根据三角形中位线的性质，可得MF与AC的关系，根据等量代换，可得MF与BD的关系，根据等腰直角三角形，可得BM与NM的关系，根据等量代换，可得NM与BC的关系，根据同角的余角相等，可得∠CBD与∠NMF的关系，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得答案．

解答： （1）答：△BMN是等腰直角三角形．

证明：∵AB=AC，点M是BC的中点，

∴AM⊥BC，AM平分∠BAC．

∵BN平分∠ABE，AC⊥BD，

∴∠AEB=90°，

∴∠EAB+∠EBA=90°，

∴∠MNB=∠NAB+∠ABN=（∠BAE+∠ABE）=45°．

∴△BMN是等腰直角三角形；

（2）答：△MFN∽△BDC．

证明：∵点F，M分别是AB，BC的中点，

∴FM∥AC，FM=AC．

∵AC=BD，

∴FM=BD，即．

∵△BMN是等腰直角三角形，

∴NM=BM=BC，即，

∴．

∵AM⊥BC，

∴∠NMF+∠FMB=90°．

∵FM∥AC，

∴∠ACB=∠FMB．

∵∠CEB=90°，

∴∠ACB+∠CBD=90°．

∴∠CBD+∠FMB=90°，

∴∠NMF=∠CBD．

∴△MFN∽△BDC．

点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了锐角是45°的直角三角形是等腰直角三角形，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．

24．（9分）(2014年山东淄博)如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．

（1）使∠APB=30°的点P有　无数　个；

（2）若点P在y轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P的坐标；

（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，也请说明理由．

考点： 圆的综合题；三角形的外角性质；等边三角形的性质；勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；切线的性质．

专题： 综合题；探究型．

分析： （1）已知点A、点B是定点，要使∠APB=30°，只需点P在过点A、点B的圆上，且弧AB所对的圆心角为60°即可，显然符合条件的点P有无数个．

（2）结合（1）中的分析可知：当点P在y轴的正半轴上时，点P是（1）中的圆与y轴的交点，借助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点P的坐标；当点P在y轴的负半轴上时，同理可求出符合条件的点P的坐标．

（3）由三角形外角的性质可证得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角．要∠APB最大，只需构造过点A、点B且与y轴相切的圆，切点就是使得∠APB最大的点P，然后结合切线的性质、三角形外角的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识即可解决问题．

解答： 解：（1）以AB为边，在第一象限内作等边三角形ABC，

以点C为圆心，AC为半径作⊙C，交y轴于点P1、P2．

在优弧AP1B上任取一点P，如图1，

则∠APB=∠ACB=×60°=30°．

∴使∠APB=30°的点P有无数个．

故答案为：无数．

（2）①当点P在y轴的正半轴上时，

过点C作CG⊥AB，垂足为G，如图1．

∵点A（1，0），点B（5，0），

∴OA=1，OB=5．

∴AB=4．

∵点C为圆心，CG⊥AB，

∴AG=BG=AB=2．

∴OG=OA+AG=3．

∵△ABC是等边三角形，

∴AC=BC=AB=4．

∴CG=

=

=2．

∴点C的坐标为（3，2）．

过点C作CD⊥y轴，垂足为D，连接CP2，如图1，

∵点C的坐标为（3，2），

∴CD=3，OD=2．

∵P1、P2是⊙C与y轴的交点，

∴∠AP1B=∠AP2B=30°．

∵CP2=CA=4，CD=3，

∴DP2==．

∵点C为圆心，CD⊥P1P2，

∴P1D=P2D=．

∴P2（0，2﹣）．P1（0，2+）．

②当点P在y轴的负半轴上时，

同理可得：P3（0，﹣2﹣）．P4（0，﹣2+）．

综上所述：满足条件的点P的坐标有：

（0，2﹣）、（0，2+）、（0，﹣2﹣）、（0，﹣2+）．

（3）当过点A、B的⊙E与y轴相切于点P时，∠APB最大．

①当点P在y轴的正半轴上时，

连接EA，作EH⊥x轴，垂足为H，如图2．

∵⊙E与y轴相切于点P，

∴PE⊥OP．

∵EH⊥AB，OP⊥OH，

∴∠EPO=∠POH=∠EHO=90°．

∴四边形OPEH是矩形．

∴OP=EH，PE=OH=3．

∴EA=3．

∵∠EHA=90°，AH=2，EA=3，

∴EH=

=

=

∴OP=

∴P（0，）．

②当点P在y轴的负半轴上时，

同理可得：P（0，﹣）．

理由：

①若点P在y轴的正半轴上，

在y轴的正半轴上任取一点M（不与点P重合），

连接MA，MB，交⊙E于点N，连接NA，如图2所示．

∵∠ANB是△AMN的外角，

∴∠ANB＞∠AMB．

∵∠APB=∠ANB，

∴∠APB＞∠AMB．

②若点P在y轴的负半轴上，

同理可证得：∠APB＞∠AMB．

综上所述：当点P在y轴上移动时，∠APB有最大值，

此时点P的坐标为（0，）和（0，﹣）．

点评： 本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理、等边三角形的性质、矩形的判定与性质，切线的性质、三角形外角性质等知识，综合性强．同时也考查了创造性思维，有一定的难度．构造辅助圆是解决本题关键．